Musiikkiteoriaa matemaatikoille

(This page is in Finnish. Please create an issue on GitHub if you want an English version.)

Selitetään musiikin teorian oleellisimmat käsitteet ja tulokset matematiikan kielellä. Äänenkorkeuksien, intervallien, sointujen jne käsittely on matemaattisesti yllättävän helppoa. Teoria palautuu kokonaisluvuilla ja jäännösluokilla laskemiseen, kunhan käsitteet määritellään sopivasti.

Intervallit

Määritelmä

Intervalli tarkoittaa kahden eri äänenkorkeuden eroa. Tärkeimmät intervallit ovat

Oktaavi on jossakin mielessä sama ääni eri korkeudella. Tähän palataan myöhemmin.

Huomaa, että sama intervalli löytyy useiden eri äänien välistä. Esimerkiksi nämä ovat oktaaveja: Nämä taas ovat kokonaisia sävelaskelia:

Seuraava lause on tärkeä, koska “taikaluku” 12 esiintyy jatkossa paljon.

Lause

Yksi oktaavi on 12 puolikasta sävelaskelta.

Todistus

Kuunnellaan tämä: Tässä on ensin seitsemän nousevan äänen jono. Näiden väleissä on 6 nousua, ja jokainen nousu on yhden sävelaskelen kokoinen. Lopuksi ensimmäinen ja viimeinen ääni soivat uudestaan, ja huomataan, että ne muodostavat oktaavin. Näin ollen oktaavi on 6 kokonaista sävelaskelta eli 12 puolikasta.

TODO: selitä miksi oktaavi on jaettu juuri 12 osaan?

Saman todistuksen voi tehdä puolikkailla sävelaskelilla, mutta tällöin on vaikeampi vakuuttua siitä, että jokainen nousu on tarkalleen puolisävelaskelen kokoinen:

Puolikkaista sävelaskeleista voidaan muodostaa muitakin intervalleja:

Näille on annettu nimet, mutta nimistä ei kannata välittää. Intervallien kuuleminen on paljon tärkeämpää, ja sitä kannattaa harjoitella. Voit vaikka klikata listasta silmät kiinni randomia ääntä ja yrittää arvata, kuinka monen puolikkaan intervalli on kyseessä. Tämän pitäisi onnistua helposti.

Äänenkorkeudet kokonaislukuina

Länsimaisessa musiikissa kaikki äänet ovat lähes aina jonkin puolisävelaskelen monikerran päässä toisistaan. Tämä johtuu soittimista. Esimerkiksi kitarassa sormen liikuttaminen seuraavalle nauhalle muuttaa kielen ääntä puolisävelaskelen verran, ja pianon koskettimet ovat puolisävelaskelen välein, jos lasketaan mukaan mustat ja valkoiset koskettimet. Suuri osa musiikin teoriasta palautuu kokonaisluvuilla laskemiseksi, kun rajoitumme näihin äänenkorkeuksiin.

Määritelmä

Unohdetaan muut kuin toisistaan puolisävelaskelen monikerran päässä olevat äänenkorkeudet. Asetetaan jäljelle jäävät äänenkorkeudet vastaamaan kokonaislukuja käyttäen yksikkönä puolisävelaskelta, eli jos jotakin äänenkorkeutta vastaa luku $k \in \mathbb{Z}$, niin $k+1$ vastaa puolikkaan sävelaskelen verran korkeampaa ääntä ja $k-1$ puolisävelaskelen verran matalampaa ääntä.

Jos siis esimerkiksi ääntä vastaa luku 15, niin ääni on 18. Tässä intervallit ovat positiivisia kokonaislukuja: äänien 15 ja 18 välinen intervalli on 3.

Esimerkki

Tässä on pätkä Ukko Nooaa. Selvitetään sen äänet ensimmäiseen ääneen verrattuna.

Kuunnellaan ensin neljää ensimmäistä ääntä. Olkoon $s \in \mathbb{Z}$ ensimmäinen ääni. Se tulee kolme kertaa. Seuraava ääni on neljän puolikkaan päässä ensimmäisestä (vertaa yllä olevaan intervallilistaan), joten se on $s+4$. $$ s,~ s,~ s,~ s+4, \dots $$ Otetaan mukaan seuraava ääni, joka tulee kolmeen kertaan. Se on edellisten äänien puolessa välissä, siis $s+2$: $$ \begin{align} &s,~ s,~ s,~ s+4, \\ &s+2,~ s+2,~ s+2, \dots \end{align} $$ Näiden jälkeen tuleva ääni ei ole $s+6$ kuten voisi arvata, sillä sen kanssa Ukko Nooan alku kuulostaisi väärältä: Oikea ääni on $s+5$ , ja tämän jälkeen toistetaankin samoja ääniä kuin on aikaisemmin ollut. Ukko Nooan äänet ovat siis: $$ \begin{align} &s,~ s,~ s,~ s+4, \\ & s+2,~ s+2,~ s+2,~ s+5, \\ &s+4,~ s+4,~ s+2,~ s+2,~ s. \end{align} $$

Äänenkorkeutta $s$ sanotaan sävellajiksi. Sävellajin määritteleminen täsmällisesti on vaikeaa. Sitä kannattaa ajatella äänenä, johon muiden äänien vertaaminen on luontevaa, ja se on yleensä ensimmäinen tai viimeinen ääni. Eri sävellajilla $s$ koko Ukko Nooa siirtyy saman verran ylöspäin tai alaspäin, vaikkapa näin:

Emme sopineet, mitä tarkoittaa vaikkapa äänenkorkeus 0. Tarkoitus onkin, että ääneksi 0 voi valita sellaisen äänen, että teorian pyörittämisestä tulee mahdollisimman yksinkertaista. Usein kannattaa ajatella, että ääni 0 tarkoittaa sävellajia. Kitaratabeissa nolla tarkoittaa sitä ääntä, joka kitaran kielestä lähtee kun se soi vapaana.

Esimerkki

Jos sovitaan, että Ukko Nooan ensimmäinen ääni on nolla, niin kaikki äänet ovat $$ 0,0,0,4,2,2,2,5,4,4,2,2,0. $$

Tämä näyttää nyt epäilyttävästi tiktokeilta, joissa on selvästi feikkiä soittoa ja kasa randomeja numeroita. Ehkä tiktokeissa yritettiin alun perin tehdä jotain tämän kaltaista.

Äänenkorkeuksien tavalliset nimet

Määritelmä

Nimetään äänenkorkeudet näin:

Kaikki äänenkorkeudet puolisävelaskelen välein ovat:

$\vdots$$\vdots$

tai ekvivalentisti:

$\vdots$$\vdots$

Jokaisella oktaavilla (rivillä) tarvittiin alennusta tai ylennystä viiteen ääneen, ja loput 7 ilmaistiin pelkällä kirjaimella ja numerolla. Toisaalta pianossa on jokaista oktaavia kohti 5 mustaa kosketinta ja 7 valkoista. Valkoiset koskettimet vastaavat juurikin niitä ääniä, jotka voidaan ilmaista ilman ylennyksiä tai alennuksia.

Esimerkki

Jos Ukko Nooan ensimmäinen ääni on , niin kaikki äänet ovat

.

Hassuista #-merkeistä päästään eroon aloittamalla Ukko Nooa vaikkapa äänestä . Silloin äänet ovat

.

Huomaa keskellä oleva . Se ei ole , koska olisi oktaavin liian matala.

Jos aloitetaan vaikkapa äänestä , niin ei tarvita ylennyksiä eikä kahta eri numeroa:

Esimerkistä näkyy hyvin, kuinka kökkö tämä nimeämisjärjestelmä on. Käytän sitä itse lähinnä muiden muusikoiden kanssa kommunikointiin ja kitaran viritysmittarin lukemiseen. Nimeäminen ei ole kuitenkaan ihan hatusta vedetty. Siinä on taustalla C-duuriasteikko ja A-molliasteikko, jotka määritellään myöhemmin.

Jäännösluokat modulo 12

Usein oktaavin eroista ei kannata välittää, eli esimerkiksi ääniä , , jne ajatellaan samoina. Määritellään tämä täsmällisesti niin, että merkintä tarkoittaa joukkoa, jossa on kaikki $C$-kirjaimella nimetyt äänet.

Määritelmä

Äänenkorkeuden $k \in \mathbb{Z}$ jäännösluokka modulo 12 on joukko $$ \overline{k} = \{ k+12n ~|~ n \in \mathbb{Z} \}, $$ eli sellaisten äänien joukko, joiden etäisyys ääneen $k$ on jokin kokonaislukumäärä oktaaveja. Merkitään jäännösluokkia samoin kuin ääniä mutta pelkillä kirjaimilla, eli esimerkiksi $$ C = \overline{C_n} = \{ \dots, C_{-1}, C_0, C_1, C_2, \dots \}. $$ Määritellään jäännösluokan $k$ ja kokonaisluvun $n$ yhteenlasku $$ \overline{k} + n = \overline{k+n}, $$ ja merkitään $X\#=X+1$ ja $Xb=X-1$, missä $X$ on jokin kirjain välillä A-G. Kaikkien jäännösluokkien joukko on

$\mathbb{Z}_{12} = \{$ ,,,,,,,,,,, $\}.$

Jäännösluokkien määritelmä ja yhteenlasku on otettu suoraan algebran peruskursseilta. Kyseessä on tavallinen modulaarinen yhteenlasku.

Jäännösluokkia on usein helpompi ajatella kuin äänenkorkeuksia, koska on vain 12 eri jäännösluokkaa, ja kun jäännösluokka tiedetään, niin sopiva äänenkorkeus löytyy helposti vaikka kokeilemalla. Esimerkiksi kitaristeille on parempi sanoa "soita G-duuri" kuin "soita G4-duuri". Duurisoinnut määritellään myöhemmin.

Koska kellotaulussa on 12 numeroa, niin jäännösluokat voi visualisoida piirtämällä ne kellotaulun ympärille. Laitetaan vaikkapa $A$ kahteentoista, $A\#$ ykköseen jne:

Tätä kuvaa seuraamalla on helppo päätellä äänten nimet.

Esimerkki

Olkoon $s \in \mathbb{Z}_{12}$ Ukko Nooan ensimmäistä ääntä vastaava jäännösluokka. Tällöin kaikki äänet ovat $$ \begin{align} &s,~ s,~ s,~ s+4, \\ & s+2,~ s+2,~ s+2,~ s+5, \\ &s+4,~ s+4,~ s+2,~ s+2,~ s. \end{align} $$ Jos ensimmäinen ääni on vaikkapa jäännösluokassa $C$, niin saadaan

.

Äänien löytäminen kitaran otelaudalta

Yritän kirjoittaa teorian niin, että lukijan ei tarvitse osata soittaa yhtäkään soitinta. Jos kitaran soittaminen ei kiinnosta, niin tämän osan voi skipata. Jos et ole ikinä soittanut kitaraa, tämä osa kannattaa skipata.

Usein sanotaan, että pitää opetella ulkoa, minkä niminen ääni tulee mistäkin otelaudan kohdasta, eli käytännössä opetella tällainen kuva:

Kuva on otettu täältä.

Tämän osan tarkoitus on näyttää, ettei kuvaa tarvitse opetella ulkoa, eikä äänten nimiä kannata edes ajatella ensimmäisen äänen löytämisen jälkeen. Käyn läpi esimerkkinä, miten kitaralla soitetaan Ukko Nooa C:stä, mutta samalla menetelmällä voi soittaa minkä tahansa melodian mistä tahansa sävellajista.

Ehkä ensin olisi hyvä selittää, mitä yllä olevassa kuvassa tapahtuu. Siinä oletetaan, että kitarassa on 6 kieltä, ja ne on viritetty tavalliseen tapaan: ilman sormella painamista (eli vapaana) kielistä lähtee äänet , , , , ja . Tässä siis kielten väliset intervallit ovat 5,5,5,4,5:

Kieliin viitataan yleensä ilman numeroa, esim. G-kieli, mutta koska E-kieliä on kaksi, niin niitä sanotaan ala-E-kieleksi () ja ylä-E-kieleksi (). Nimet viittaavat äänenkorkeuksiin eivätkä kielien sijaintiin: ylä-E on tavallisessa soittoasennossa lähimpänä huoneen lattiaa ja ala-E lähimpänä kattoa.

Kun kieltä painetaan nauhan $n \in \{1,2,3,\dots\}$ vierestä (eli siitä paikasta, jossa kuvan alalaitaan on merkitty $n$), vaapaana soivan äänen $v \in \{E_2,A_2,D_3,G_3,B_3,E_4\}$ sijaan soi ääni $v+n$. Esimerkiksi G-kielen nauhalta $n=7$ löytyy ääni ${} + 7 =$ . Kuvassa siihen on merkitty D.

Ukko Nooan ensimmäinen ääni on sävellaji $s$, ja halusimme soittaa Ukko Nooan C:ssä eli $s \in C$. Esimerkiksi G-kielen viidenneltä nauhalta tulee C, koska $C=G+5$. Saman näkisi toki kuvastakin, ja tässä stepissä auttaa, jos otelaudan muistaa ainakin osittain. Monessa muussakin paikassa on C, ja niistä voi valita periaatteessa minkä tahansa. Käytännössä kannattaa valita sellainen otelaudan paikka, että siitä on helppo soittaa, ja soitto kuulostaa hyvältä muiden soittimien kanssa.

Tässä vaiheessa kannattaa unohtaa yllä oleva kuva kokonaan. Sitä tarvittiin vain alkuäänen $s$ löytämiseen. Nyt oleellista on, että se on jossakin, aivan sama missä.

Ylä-E-kieli -------------------
    B-kieli -------------------
    G-kieli ----------(s)------
    D-kieli -------------------
    A-kieli -------------------
Ala-E-kieli -------------------

Edellisten esimerkkien mukaan Ukko Nooan äänet ovat $$ \begin{align} &s,~ s,~ s,~ s+4, \\ & s+2,~ s+2,~ s+2,~ s+5, \\ &s+4,~ s+4,~ s+2,~ s+2,~ s. \end{align} $$ Seuraava ääni $s+4$ löytyisi samalta kieleltä neljän nauhan päästä:

Ylä-E-kieli -------------------
    B-kieli -------------------
    G-kieli ----------(s)-------------------(s+4)
    D-kieli -------------------
    A-kieli -------------------
Ala-E-kieli -------------------

Tämä vaatisi käytännössä käden siirtämistä. Ukko Nooan soittaminen onnistuisi niinkin, mutta käden siirtäminen ei auta, jos pitää esimerkiksi soittaa nopeasti tai monta ääntä samaan aikaan.

Lause

Olkoon $k$ äänenkorkeus, joka tulee jostakin paikasta kitaran otelautaa. Jos kyseinen paikka ei ole kaikkein ylimmällä kielellä, niin seuraavaksi ylemmältä kieleltä samalta nauhalta tulee ääni $$ \begin{cases} k+4 & \text{G-kieleltä B-kielelle siirryttäessä} \\ k+5 & \text{kaikissa muissa tapauksissa}. \end{cases} $$ Jos kyseinen paikka ei ole kaikkein alimmalla kielellä, niin seuraavaksi alemmalta kieleltä samalta nauhalta tulee $$ \begin{cases} k-4 & \text{B-kieleltä G-kielelle siirryttäessä} \\ k-5 & \text{kaikissa muissa tapauksissa}. \end{cases} $$

Todistus

Osoitetaan, että uudelta kieleltä saatu ääni on $k\pm\delta$, missä $\delta \in \{4,5\}$ on kielten korkeusero, ja $\pm$ on plus ylöspäin mentäessä ja miinus alaspäin mentäessä. Esimerkiksi G-kieleltä D-kielelle siirryttäessä $\pm\delta = -5$.

Olkoon $n$ nauha, jonka kohdalta molempia kieliä painetaan. Alkuperäinen kieli tuottaisi vapaana soitettuna äänen $k-n$. Koska kielten korkeusero on $\delta$, niin uusi kieli tuottaisi vapaana soitettuna äänen $k-n \pm \delta$. Kun uutta kieltä painetaan nauhalta $n$, saadaan $n$ puolisävelaskelta vapaata korkeampi ääni $$ (k-n\pm\delta) + n = k\pm\delta. $$

Seuraava ääni $s+4$ löytyy siis kätevästi samalta nauhalta B-kieleltä:

Ylä-E-kieli --------------------------
    B-kieli ---------(s+4)------------
    G-kieli ----------(s)-------------
    D-kieli --------------------------
    A-kieli --------------------------
Ala-E-kieli --------------------------

Äänen $s+2$ saisi nyt menemällä G-kieltä pitkin kaksi nauhaa oikealle, tai muodossa $s+4-2$ menemällä B-kieltä pitkin kaksi nauhaa vasemmalle. Käytännössä oikealle liikkuminen on helpompaa, koska $s$ ja $s+4$ tulee helposti soitettua etusormella, jolloin nimetön on jo valmiiksi suunnilleen oikeassa paikassa.

Ylä-E-kieli --------------------------
    B-kieli ---------(s+4)------------
    G-kieli ----------(s)-------(s+2)-
    D-kieli --------------------------
    A-kieli --------------------------
Ala-E-kieli --------------------------

Ainoa jäljellä oleva ääni on $s+5$. Edellisen lauseen mukaan $s+6$ olisi B-kielellä samassa paikassa kuin $s+2$ on G-kielellä, jolloin saamme B-kielelle äänet $s+4$ ja $s+6$. Näiden puolessa välissä on $s+5$.

Ylä-E-kieli --------------------------
    B-kieli ---------(s+4)-(s+5)------
    G-kieli ----------(s)-------(s+2)-
    D-kieli --------------------------
    A-kieli --------------------------
Ala-E-kieli --------------------------

Nämä asettuvat myös mukavasti käden muotoon. Äänen $s+5$ voi soittaa keskisormella, $s+2$ nimettömällä ja muut etusormella.

Duuriasteikko ja molliasteikko

Määritelmä

Olkoon $j \in \mathbb{Z}_{12}$ jäännösluokka. Tällöin $j$-duuriasteikko on joukko $$ j\duuri = \{ j, j+2, j+4, j+5, j+7, j+9, j+11 \} $$ ja $j$-molliasteikko on $$ j\molli = \{ j, j+2, j+3, j+5, j+7, j+8, j+10 \}. $$ Jäännösluokkaa $j$ sanotaan asteikon juureksi.

Asteikkojen idea on, että asteikon ääniin rajoittuminen tekee säveltämisestä helpompaa. Esimerkiksi kaikki Ukko Nooan äänet ovat $s$, $s+2$, $s+4$ ja $s+5$, missä $s$ on ensimmäinen ääni. Nämä ovat $s$-duuriasteikon ääniä.

Esimerkki

C-duuriasteikko on

$C\duuri = \{$ , , , , , , $\}$,

ja C-molliasteikko on

$C\molli = \{$ , , , , , , $\}$.

Tässä duuriasteikon muodostamiseen tarvittiin alennuksia ja molliasteikkoon ei tarvittu. Näin ei välttämättä ole. Seuraavassa esimerkissä nämä menevät juurikin päinvastoin.

Esimerkki

$A\duuri = \{$ , , , , , , $\}$

ja

$A\molli = \{$ , , , , , , $\}$.

Ehkä äänten nimeäminen tuntuu nyt vähän järkevämmältä: A-molliasteikko on kivasti aakkosjärjestyksessä (paitsi jos B:tä merkitäänkin H:lla).

Lause

Kaikilla $j \in \mathbb{Z}_{12}$ pätee $$j\duuri = (j-3)\molli.$$

Todistus

$$ \begin{align} j\duuri &= \{ j, j+2, j+4, j+5, j+7, \underbrace{j+9}_{=j-3}, \underbrace{j+11}_{=j-1} \} \\ &= \{ j-3, j-1, j, j+2, j+4, j+5, j+7 \} \\ &= \{ j-3, j-3+2, j-3+3, j-3+5, \\ &\qquad\quad j-3+7, j-3+8, j-3+10 \} \\ &= (j-3)\molli \end{align} $$

Esimerkiksi C-duurissa on samat äänet kuin A-mollissa. Ne ovat eri järjestyksessä, mutta se ei haittaa, koska kyseessä on joukkojen yhtäsuuruus ja joukoissa järjestyksellä ei ole merkitystä.

Tällaisia yllättäviä yhtäsuuruuksia ei kuitenkaan saada kahdella duuriasteikolla tai kahdella molliasteikolla:

Lause

Duuriasteikon juuri on yksikäsitteinen, eli jos $j_1$ ja $j_2$ ovat eri jäännösluokkia ($j_1,j_2 \in \mathbb{Z}_{12}$ ja $j_1 \ne j_2$), niin $j_1\duuri \ne j_2\duuri$.

Todistus

Tähän riittää, että kun $j$-duuriasteikko on annettu joukkona, niin voidaan päätellä, mikä $j$ oli. Etsitään ensin joukosta kahden peräkkäisen äänen esiintymät. Näitä on kaksi: $j+4,j+5$ ja $j+11,j+12$. Otetaan pareista vaikka jälkimmäiset alkiot $j+5$ ja $j+12$. Ne eivät ole keskenään symmetrisesti: $$ \begin{align} &(j+5)-(j+12) = 5-12 = 5 \\ &(j+12)-(j+5) = 12-5 = 7 \ne 5 \end{align} $$ Jos siis tiedetään, että kaksi annettua jäännösluokkaa ovat $j+5$ ja $j+12$, niin voidaan päätellä, kumpi annetuista jäännösluokista on $j+12$. Koska $j+12 = j$, niin juuri löydettiin.

Lause

Molliasteikon juuri on yksikäsitteinen.

Todistus

Koska $j\molli = (j+3)\duuri$, niin annetusta $j$-molliasteikkojoukosta voidaan edellisen lauseen mukaan päätellä $j+3$. Tästä on helppo laskea $j$.

Pentatoniset asteikot

Määritelmä

Määritellään pentatoninen $j$-duuriasteikko $$ j\duuripenta = \{ j, j+2, j+4, j+7, j+9 \}, $$ pentatoninen $j$-molliasteikko $$ j\mollipenta = \{ j, j+3, j+5, j+7, j+10 \}, $$ ja $j$-bluesasteikko $$ \begin{align} j\blues &= \{ j, j+3, j+5, j+6, j+7, j+10 \} \\ &= j\mollipenta \cup \{j+6\}, \end{align} $$ missä $j \in \mathbb{Z}_{12}$ on asteikon juuri.

Pentatoniset asteikot ovat "tavallisten" asteikkojen aitoja osajoukkoja: $j\duuripenta \subset j\duuri$ ja $j\mollipenta \subset j\molli$. Näin ollen pentatoniselle asteikolle säveltäminen on helpompaa, mutta toisaalta pentatoniseen asteikkoon kyllästyy helpommin, jos sitä kuulee liikaa. Useimmat kitaristit ovat törmänneet tähän.

Esimerkki

Pentatoninen C-duuriasteikko on

$C\duuripenta = \{$ , , , , $\}$.

Pentatoninen A-molliasteikko on

$A\mollipenta = \{$ , , , , $\}$.

Pentatonisille asteikoille saadaan hyvin samanlaisia tuloksia kuin "tavallisille" asteikoille. En näytä todistuksia, koska ne menevät samalla tavalla.

Lause